Teorema de suma y diferencia de angulos y identidades de angulo doble

IDENTIDAD:
Una identidad es una igualdad entre dos expresiones que contienen una o mas variables, y que es valida para todo valor de la variable en que las expresiones esten definidas.

Aquellas identidades en las que se establecen relaciones entre las funciones trigonometricas son llamadas identidades trigonometricas.

Teoremas de la suma y diferencia de ángulos
Pueden demostrarse según la Fórmula de Euler o mediante la proyección de ángulos consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recíproca correspondiente.

COMPROBACION PARA LA DIFERENCIA DE ANGULOS:

* SEN(X - Y)

Como la funcion seno es impar se tiene que sen (-x)= - sin x y como la funcion coseno es par se cumple que cos (-x)=cosx

Por lo tanto,

sin(x-y)= sin(X + (-Y))= sin x cos (-y) + cos x sin (-y)

=sin x cos y + cos x (-siny)

Luego, sin(x-y)= sinxcosy - cosx sin y

*COS (X-Y)

cos(x-y)= cos (x + (-y))= cos x cos (-y) - sinx sin(-y)

=cosx cosy- sin x(-siny)

Así cos(x - y)=cosx cosy+ sin x sin y

*TAN (X-Y)

La funcion tangente es impar, por lo tanto, tan(-x)=-tanx . Entonces tan (x-y)=tan(x+(-y))= tanx+tan(-y)/1- tanx tan(-y)

= tanx + (-tan y) / 1- tan x(-tan y)

por lo tanto, tan(x-y) = tan x-tan y/ 1 + tanx tan y

De lo que se sigue para determinados ángulos suplementarios:

Para ángulos complementarios:

Para ángulos opuestos:

sin(-x)= -sin (x)

cos (-x)= cos (x)

tan (-x) = - tan (x)

csc (-x)= - csc (x)

sec (-x) = sec (x)

cot (-x) = - cot (x)

Identidades del Ángulo Doble
Pueden obtenerse remplazándolo y por x (o sea sin(x + x) = sin(2x)) en las identidades anteriores, y usando Pitágoras para los dos últimos (a veces es útil expresar la identidad en términos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando la Fórmula de De Moivre cuando

n =2.

sin (2x)= 2 sin(x) cos (x)